黄金比が神秘的な理由

黄金比とは、以下の図形の縦横の比のことをいいます。

$$1.618:1=(1.618+1):1.618\tag{1}$$

図１

$1.618$ とは、また中途半端な数字ですが、「長方形の長辺の $2.618$ を短辺の $1.618$ で割ると、短辺と同じ $1.618$ になっている」、というのがミソです。この長方形は我々人類が、世の東西を問わず、もっとも美しいと感じる比率のようです。「黄金比の実例」でググってみると、建造物では、パルテノン神殿、サグラダ・ファミリア、金閣寺、凱旋門、ピラミッド、自然界では、貝の形、花や葉の形、芸術では、ミロのヴィーナスやモナ・リザ、身近なところでは、名刺、キャッシュカードやクレジットカード、トランプ、パソコンのワイドモニターなどが、ほぼ黄金比になっているようです。確かにいわれてみると、心地よい安定感がありますし、とにかくバランスがいいような気がします。

では、そもそも $1.618$ という数字はどこから出てきたのでしょうか？もし、それが未知の数 $x$ であったとすると、図１は、図２のように描けます。

図２

長方形の長辺の長さ $x+1$ を、短辺の長さ $x$ で割ると、また短辺の長さ $x$ になるわけですから、それを数式で表すと、

$$\frac{x+1}{x}=x\tag{2}$$

となります。変形すると、

$$x^2-x-1=0\tag{3}$$

です。これは $x$ の二次方程式ですから、解の公式を使うと、$x$ はすぐに求めることができます。つまり、

$$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}≒1.618\tag{4}$$

です。確かに、$1.618$ という数字が出てきました。でもその数字自体、見た目がきれいでもありませんし、「黄金の輝き」があるとも思えません。

ではここで、式 $(3)$ を以下のように変形してみます。

$$x^2=x+1\tag{5}$$

両辺を $x$ で割ります。

$$x=1+\frac{1}{x}\tag{6}$$

右辺の $x$ に、式 $(6)$ を代入します。

$$x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\tag{7}$$

これを、繰り返すと、

$$x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+…}}}}}\tag{8}$$

のように永遠に $1$ だけしか出て来ない、美しい分数（連分数）になります！

では、実際に式 $(6)～(8)$ を使って計算をしてみます。$x=0.5$、$x=1$、$x=2$　の三パターンでやってみましょう（小数点第五位を四捨五入）。

表１

n	x=0.5	x=1.0	x=2.0
1	3.0000	0.5000	1.5000
2	1.3333	1.6667	1.4000
3	1.7500	1.6000	1.7143
4	1.5714	1.6250	1.5833
5	1.6364	1.6154	1.6316
6	1.8111	1.6190	1.6129
7	1.6207	1.6176	1.6200
8	1.6170	1.6182	1.6173
9	1.6184	1.6180	1.6183