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黄金比が神秘的な理由

黄金比とは、以下の図形の縦横の比のことをいいます。

$$1.618:1=(1.618+1):1.618\tag{1}$$

図1

$1.618$ とは、また中途半端な数字ですが、「長方形の長辺の $2.618$ を短辺の $1.618$ で割ると、短辺と同じ $1.618$ になっている」、というのがミソです。この長方形は我々人類が、世の東西を問わず、もっとも美しいと感じる比率のようです。「黄金比の実例」でググってみると、建造物では、パルテノン神殿、サグラダ・ファミリア、金閣寺、凱旋門、ピラミッド、自然界では、貝の形、花や葉の形、芸術では、ミロのヴィーナスやモナ・リザ、身近なところでは、名刺、キャッシュカードやクレジットカード、トランプ、パソコンのワイドモニターなどが、ほぼ黄金比になっているようです。確かにいわれてみると、心地よい安定感がありますし、とにかくバランスがいいような気がします。

では、そもそも $1.618$ という数字はどこから出てきたのでしょうか?もし、それが未知の数 $x$ であったとすると、図1は、図2のように描けます。

図2

長方形の長辺の長さ $x+1$ を、短辺の長さ $x$ で割ると、また短辺の長さ $x$ になるわけですから、それを数式で表すと、

$$\frac{x+1}{x}=x\tag{2}$$

となります。変形すると、

$$x^2-x-1=0\tag{3}$$

です。これは $x$ の二次方程式ですから、解の公式を使うと、$x$ はすぐに求めることができます。つまり、

$$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}≒1.618\tag{4}$$ 

です。確かに、$1.618$ という数字が出てきました。でもその数字自体、見た目がきれいでもありませんし、「黄金の輝き」があるとも思えません。

 

ではここで、式 $(3)$ を以下のように変形してみます。

$$x^2=x+1\tag{5}$$

両辺を $x$ で割ります。

$$x=1+\frac{1}{x}\tag{6}$$

右辺の $x$ に、式 $(6)$ を代入します。

$$x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\tag{7}$$

これを、繰り返すと、

$$x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+…}}}}}\tag{8}$$

のように永遠に $1$ だけしか出て来ない、美しい分数になります!

 

では、実際に式 $(6)~(8)$ を使って計算をしてみます。$x=0.5$、$x=1$、$x=2$ の三パターンでやってみましょう(小数点第五位を四捨五入)。

表1

n x=0.5 x=1.0 x=2.0
1 3.0000 0.5000 1.5000
2 1.3333 1.6667 1.4000
3 1.7500 1.6000 1.7143
4 1.5714 1.6250 1.5833
5 1.6364 1.6154 1.6316
6 1.8111 1.6190 1.6129
7 1.6207 1.6176 1.6200
8 1.6170 1.6182 1.6173
9 1.6184 1.6180 1.6183

 

 

表1をグラフにしたものが図3です。$x$ の初期値に寄らず、振動しながら $1.618$ に収束している様子が分かります。

図3

$x$の初期値によらず 1.618 へ収束する連分数

 

 

黄金の輝きを放っているのは、黄金比そのものというよりは、黄金比を導く連分数の方ではないでしょうか。

以下は、数学大図鑑(Newton Press, 2022, p54)の抜粋です。

黄金数は、数学的にも美しい!

黄金数($Φ$)を分数であらわすと、数式の中にでてくるのは1だけである。単純で非常に美しい黄金数の連分数は、実に神秘的だ。

 

おわり

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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